2018年度　センター試験　数学I・数学A　第4問

(1)
$144=2^{4}\times 3^{2}$
→ア＝4，イ＝3，ウ＝2
よって， $144$ の正の約数の個数は，
$(4+1)\times (2+1)=15$
→エオ＝15

(2)
$144x-7y=1 \iff 7y=7\times 21x -(3x+1)$ より，
$3x+1$ が7の倍数でなければならない
これをみたす $x$ のうち， $x$ の絶対値が最小になるのは，
$x=2$
このとき，
$y=\dfrac{144\times 2-1}{7}=41$
→カ＝2，キク＝41

$144x-7y=1, 144\cdot 2 -7\cdot 41=1$ の2式より，
$144(x-2)-7(y-41)=0 \iff 144(x-2)=7(y-41)$
$144, 7$ は互いに素より，
$x-2=7k, y-41=144k$ ( $k$ は整数)
$\iff x=7k+2, y=144k+41$
→ケ＝7，コサシ＝144

(3)
$n=144x=7y+1$ ( $x, y$ は整数)とおくと，
(2)より，
$x=7k+2, y=144k+41, n=2^{4}\cdot 3^{2} (7k+2)$ ( $k$ は整数)とおける
正の約数の個数が $18$ 個であるには，
$7k+2=2 \iff k=0$ であればよい
このとき，
$n=144\times 2$
→ス＝2
正の約数の個数が $30$ 個であるには，
$7k+2=2^{5}, 2^{1}\cdot 3^{2}, 3^{3}, p$ ( $p$ は素数)であればよい
これを解くと，
$k=\dfrac{30}{7}, \dfrac{16}{7}, \dfrac{25}{7}, \dfrac{p-2}{7}$
$k$ は整数より，これをみたす最小の $k$ は
$k=3(p=23)$
このとき，
$n=144\times 23$
→セソ＝23

ココマス

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